Question

10．已知橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，一個焦點到相應準線的距離為3，過點A（0，2）且斜率為k （k＞0）的直線l與橢圓有且只有一個公共點，l與x軸交于點B．
（1）求橢圓M的方程和直線l的方程；
（2）圓N的圓心在x軸上，且與直線l相切于點A，試在圓N上求一點P，使 PB=3PA．

Answer 1

分析 （1）由題意列關于a，c的方程組，求解得a，c的值，由隱含條件求得b，則橢圓方程可求．設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，化為關于x的一元二次方程，由判別式等于0求得k，則直線l的方程可求；
（2）求出圓N的方程，設出P的坐標，由PB=3PA求得P的軌跡，聯(lián)立兩圓的方程可得P的坐標．

解答 解：（1）由題意有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=3}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，
從而b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
由題意可得，直線l的方程為y=kx+2（k＞0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+16kx+4=0．
由△=256k²-16（3+4k²）=0，解得k=$\frac{1}{2}$（k＞0）．
∴直線l的方程為y=$\frac{1}{2}x+2$，即x-2y+4=0；
（2）如圖，設圓N的圓心為（m，0），
由題意可得，${k}_{AN}=-\frac{2}{m}=-2$，得m=1．
則半徑r=$\sqrt{5}$，
∴圓N的方程為（x-1）²+y²=5．①
設P（x，y），則由 PB=3PA，得$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}=3\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$，
化簡得：2x²+2y²-2x-9y+5=0．②
聯(lián)立①②解得：P（$\frac{11-18\sqrt{2}}{17}，\frac{27-4\sqrt{2}}{17}$）或P（$\frac{11+18\sqrt{2}}{17}，\frac{27+4\sqrt{2}}{17}$）．

點評 本題主要考查了直線與橢圓方程．考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．