【題目】已知三棱柱的側(cè)面是菱形，.

（1） 求證：；

（2）若，，，求的值，使得 二面角的余弦值的為 .

【答案】(1)證明見(jiàn)解析.

(2)2.

【解析】

分析：（1）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得面，則.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)，計(jì)算可得平面和平面的一個(gè)法向量分別為，，結(jié)合空間向量的結(jié)論計(jì)算可得的長(zhǎng)為.

詳解：

（1）因?yàn)閭?cè)面是菱形，所以，

又，，

所以與全等，

所以；

設(shè)和交于，則為和的中點(diǎn)，連接，

所以.

又，交于，

所以面；

因?yàn)?/span>面，所以.

（2）因?yàn)?/span>，所以，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>，所以

設(shè)，則；

，

設(shè)和分別是平面和平面的法向量，

則

不妨令，則，即

，

不妨令，則，即.

令，即，得或，

所以或（舍），

即的長(zhǎng)為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)為實(shí)數(shù))的圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，證明時(shí)， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（且）．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)l：x﹣y+4＝0和圓O：x2+y2＝4，P是直線(xiàn)l上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M，N．

（1）若PM⊥PN，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

（2）若圓O上存在點(diǎn)A，B，使得∠APB＝60°，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）設(shè)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為Q，l與x軸的交點(diǎn)為T，求線(xiàn)段TQ長(zhǎng)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖的的值；

（2）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說(shuō)明理由.

（3）估計(jì)居民月用水量的中位數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著我國(guó)中醫(yī)學(xué)的發(fā)展，藥用昆蟲(chóng)的使用相應(yīng)愈來(lái)愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆蟲(chóng)大量活動(dòng)與繁殖季節(jié)，易于采集各種藥用昆蟲(chóng).已知一只藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)與一定范圍內(nèi)的溫度有關(guān)，于是科研人員在3月份的31天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲(chóng)的5組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表：

日期

2日

7日

15日

22日

30日

溫度

10

11

13

12

8

產(chǎn)卵數(shù)/個(gè)

23

25

30

26

16

（1）從這5天中任選2天，記這兩天藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵分別為，，求事件“，均不小于25”的概率；

（2）科研人員確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中任選2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)建立關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

（�。┤暨x取的是3月2日與30日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)3月7日、15日和22日這三天的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；

（ⅱ）若由線(xiàn)性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2個(gè)，則認(rèn)為得到的線(xiàn)性回歸方程是可靠的，試問(wèn)（ⅰ）中所得的線(xiàn)性回歸方程是否可靠？

附：回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知{an}是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且2bn＝b1（1+Sn），bn≠0，又a2b2＝4，a7+b3＝11．

（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）令cn＝anbn（n∈N*），求{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足 ，.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，若是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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