Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

，求z=2x+y的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y可行域內(nèi)的點(diǎn)B時(shí)，從而得到z=2x+y的最值即可．

解答：解：如圖：作出可行域（6分）
目標(biāo)函數(shù)：z=2x+y，則y=-2x+z
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的直線過點(diǎn)A時(shí)，Z有最大值．
A點(diǎn)坐標(biāo)由方程組

x-4y=-3 3x+5y=25

解得

x=5 y=2

A（5，2）Z_max=2x+y=12．（10分）
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的直線過點(diǎn)B（1，1）時(shí)，Z有最小值Z_min=2x+y=3．
故z=2x+y的最大值和最小值分別為：12；3．

點(diǎn)評：題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解．借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定．