Question

16．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線，且$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{c}$=-$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，則用基底$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{c}$為$\overrightarrow{c}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$$-\frac{3}{2}\overrightarrow$．

Answer 1

分析 可設(shè)$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow$，帶入向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$從而可得到$\overrightarrow{c}=（λ+μ）\overrightarrow{{e}_{1}}+（λ-μ）\overrightarrow{{e}_{2}}$，這樣根據(jù)平面向量基本定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ=-1}\\{λ-μ=2}\end{array}\right.$，這樣解出λ，μ，便可以用基底$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{c}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線，∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不共線；
∴設(shè)$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow=λ（\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）+μ（\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}）$=$（λ+μ）\overrightarrow{{e}_{1}}+（λ-μ）\overrightarrow{{e}_{2}}$；
又$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∴根據(jù)平面向量基本定理：$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ=-1}\\{λ-μ=2}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{2}}\\{μ=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{3}{2}\overrightarrow$．
故答案為：$\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{3}{2}\overrightarrow$．

點(diǎn)評(píng) 考查平面向量基本定理，向量的加法、減法，及數(shù)乘運(yùn)算，注意需說明$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不共線．