Question

已知函數(shù)f（x）=

cosx(-π≤x＜0) sinx(0≤x≤π)

（1）作出該函數(shù)的圖象；
（2）若f（x）=

1

2

，求x的值；
（3）若a∈R，討論方程f（x）=a的解的個數(shù)．

Answer 1

考點：余弦函數(shù)的圖象,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）作出函數(shù)f（x）=

cosx(-π≤x＜0) sinx(0≤x≤π)

的圖象，如圖所示：
（2）由f（x）=

1

2

，分當(dāng)-π＜x＜0時，和當(dāng)0≤x≤π時兩種情況，分別求得x的值，綜上可得結(jié)論．
（3）若a∈R，討論方程f（x）=a的解的個數(shù)，即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a的交點個數(shù)．?dāng)?shù)形結(jié)合可得結(jié)論

解答： 解：（1）作出函數(shù)f（x）=

cosx(-π≤x＜0) sinx(0≤x≤π)

的圖象，如圖所示：
（2）∵f（x）=

1

2

，當(dāng)-π＜x＜0時，由cosx=

1

2

，可得x=-

π

3

．
當(dāng)0≤x≤π時，由sinx=

1

2

，可得x=

π

6

，或x=

5π

6

．
綜上可得，要求的x的值共計三個：x=-

π

3

，或x=

π

6

，或x=

5π

6

．
（3）若a∈R，討論方程f（x）=a的解的個數(shù)，
即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a的交點個數(shù)．
數(shù)形結(jié)合可得，
當(dāng)a＞1，或 a＜-1時，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a
的交點個數(shù)為0；
當(dāng)-1≤a＜0時，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a的交點個數(shù)為1；
當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a的交點個數(shù)為2；
當(dāng)0≤a＜1時，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a的交點個數(shù)為3．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，解三角方程，方程的根的存在性及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．