Question

給出關(guān)于函數(shù)f（x）=

1 6 x2+ 5 6 x，-5≤x＜3 10-2x，3≤x≤5

的下列結(jié)論：
①若實數(shù)a，b，c互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=d，則a+b+c+d=0；
②若f（x）≤k（x+5）對x∈[-5，5]恒成立，則k的值不可能小于

1

2

；
③滿足“當x∈[m，n]（n＞m≥0）時f（x）相應(yīng)的值域恰好也是[m，n]”的實數(shù)對（m，n）有且僅有4對．
以上結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：畫出函數(shù)f（x）的圖象，觀察圖象，即可判斷①；討論x=-5，-5＜x＜3，3≤x≤5，通過參數(shù)分離，結(jié)合單調(diào)性求出最值即可；③討論[m，n]為增區(qū)間或減區(qū)間，或有增有減，結(jié)合圖象和函數(shù)值，即可得到答案．

解答： 解：畫出函數(shù)f（x）的圖象，
①若實數(shù)a，b，c互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=d，
由圖象可知，
d=0，c=5，b=0，a=-5，
故a+b+c+d=0，
即①正確；
②若f（x）≤k（x+5）對x∈[-5，5]恒成立，
若x=-5，則f（-5）=0，k（x+5）=0，成立；
若-5＜x＜3，則

1

6

（x²+5x）≤k（x+5），即k≥

1

6

x，則有k≥

1

2

；
若3≤x≤5，則10-2x≤k（x+5），即k≥

2(5-x)

x+5

=

20

x+5

-2，
則有k≥

20

8

-2，即k≥

1

2

．故②正確；
③若[m，n]為增區(qū)間，則f（m）=m，f（n）=n，

1

6

（m²+5m）=m，

1

6

（n²+5n）=n，
解得m=0，n=1，若[m，n]為減區(qū)間，則f（m）=n，f（n）=m，推出m=n，不成立．
又f（4）=2，f（3）=4，故區(qū)間[0，4]，[1，4]也成立．故共有3個，即③錯．
故選C．

點評：本題考查分段函數(shù)及運用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求最值問題，是一道綜合題．