Question

數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其前n項和為S_n=2ⁿ-k（k∈R）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若a_n=log₂b_n+3，求數(shù)列{a_nb_n}的前項的和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計算題

分析：（1）利用n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，即可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法，可求數(shù)列{a_nb_n}的前項的和T_n．

解答： 解：（1）由S_n=2ⁿ-k，得：n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2^n-1
∵數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b₁=2-k，
∴2-k=1，
∴k=1
∴b_n=2^n-1；
（2）a_n=log₂b_n+3=n+2，a_nb_n=（n+2）•2^n-1，
∴T_n=3•2⁰+4•2+5•2²+…+（n+2）•2^n-1，
∴2T_n=3•2+4•2²+5•2³+…+（n+2）•2ⁿ，
兩式相減整理可得，T_n=（n+1）•2ⁿ+1．

點評：本題考查等比數(shù)列的通項，考查數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項，正確運用求和方法是關鍵．