Question

13．下列4個命題，其中正確的命題序號為（　�。�
①|(zhì)x+$\frac{1}{x}$|的最小值是2  ②$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$的最小值是2  ③log₂x+log_x2的最小值是2   ④3^x+3^-x的最小值是2．

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式的性質(zhì)分別對①②③④進行判斷即可．

解答 解：①x＞0時，|x+$\frac{1}{x}$|=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，“=”成立，
x＜0時，|x+$\frac{1}{x}$|=-x-$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{（-x）•（-\frac{1}{x}）}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時，“=”成立，
故①正確；
②$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\frac{{x}^{2}+1+1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，“=”成立，
故②正確；
③當(dāng)0＜x＜1時，log₂x+log_x2的和是負(fù)數(shù)，
故③錯誤；
④3^x+3^-x=3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$≥2$\sqrt{{3}^{x}•\frac{1}{{3}^{x}}}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，“=”成立，
故選：B．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握滿足基本不等式的條件是解答本題的關(guān)鍵，本題是一道基礎(chǔ)題．