Question

4．已知數列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，數列{b_n}滿足b₁=2且b_n=2b_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記c_n=a${\;}_{_{n}}$，數列{c_n}的前n項和為S_n，集合A={n∈N^*|S_n＞6•2ⁿ+n²-8n}，求集合A．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，當n≥2時利用a_n=S_n-S_n-1可知a_n=3n-1，且當n=1時也成立，從而a_n=3n-1；通過b₁=2、b_n=2b_n-1可知$_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）通過a_n=3n-1、$_{n}={2}^{n}$可知c_n=3•2ⁿ-1，進而S_n=3•2ⁿ⁺¹-n-6，從而問題轉為求不等式3•2ⁿ⁺¹-n-6＞6•2ⁿ+n²-8n的整數解，計算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{n}{2}$，
∴當n=1時，a₁=S₁=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=2，
當n≥2時，S_n-1=$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{n-1}{2}$，
∴a_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{3}{2}$n²+$\frac{n}{2}$）-[$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{n-1}{2}$]
=3n-1，
又∵a₁=2滿足a_n=3n-1，
∴數列{a_n}的通項a_n=3n-1；
∵b₁=2、b_n=2b_n-1，
∴數列{b_n}的通項$_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）∵a_n=3n-1，$_{n}={2}^{n}$，
∴c_n=${a}_{_{n}}$=3•2ⁿ-1，
∴S_n=3•$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=3•2ⁿ⁺¹-n-6，
∵S_n＞6•2ⁿ+n²-8n，
即3•2ⁿ⁺¹-n-6＞6•2ⁿ+n²-8n，
化簡得：n²-7n+6＜0，
解得1＜n＜6，（n∈N^*）
∴A={2，3，4，5}．

點評 本題考查數列的通項和前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．