Question

19．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1，則S₂₀₁₆=（　�。�

• A． -$\frac{1}{2016}$
• B． $\frac{1}{2016}$
• C． -$\frac{1}{2017}$
• D． $\frac{1}{2017}$

Answer 1

分析 a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1，可得S_n+1-S_n=S_nS_n+1，變形為$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1，
∴S_n+1-S_n=S_nS_n+1，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差都為-1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n，
∴S_n=-$\frac{1}{n}$．
S₂₀₁₆=-$\frac{1}{2016}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．