19.定義在R上的偶函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=lnx-ax,又f(x)=0恰有5個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)當(dāng)a為常數(shù)時(shí),求f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x>0時(shí),是否存在a,使y=$\frac{f(x)}{{{a^2}{x^2}}}$的恒小于1.若存在,求出a的范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

分析 (1)由5個(gè)零點(diǎn)得到f(0)=0,再由奇偶性得到另一段上的解析式.
(2)由作商小于1,可以轉(zhuǎn)化為做差小于0,再通過(guò)構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo),由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到極大值點(diǎn).即可得到a的范圍.

解答 解:(1)∵偶函數(shù)f(x),f(x)=0恰有5個(gè)實(shí)數(shù)根,
∴f(0)=0,
當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)=ln(-x)+ax=f(x),
∴f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-ax}&{x>0}\\{0}&{x=0}\\{ln(-x)+ax}&{x<0}\end{array}\right.$,
(2)由函數(shù)f(x)=0恰有5個(gè)實(shí)數(shù)根,則當(dāng)x>0時(shí),f′(x)=$\frac{1}{x}$-a,解得:x=$\frac{1}{a}$,
∴f($\frac{1}{a}$)=-lna-1>0,解得0<a<$\frac{1}{e}$,
由y=$\frac{f(x)}{{{a^2}{x^2}}}$的恒小于1,則g(x)=f(x)-a2x2=lnx-ax-a2x2≤0恒成立,
∴g′(x)=$\frac{1}{x}$-a-2a2x=$\frac{1-ax-2{a}^{2}x}{x}$=$\frac{(1-2ax)(1+ax)}{x}$
則x=$\frac{1}{2a}$是函數(shù)的極大值點(diǎn),
∴g($\frac{1}{2a}$)=-ln2a-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$≤0,得a>$\frac{{e}^{-\frac{3}{4}}}{2}$,
綜上$\frac{{e}^{-\frac{3}{4}}}{2}$<a<$\frac{1}{e}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查求解析式,由5個(gè)零點(diǎn)得到f(0)=0,再由奇偶性得到另一段上的解析式.以及函數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化,由作商小于1,可以轉(zhuǎn)化為做差小于0,再通過(guò)構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo),由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到極大值點(diǎn).即可得到a的范圍.

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④sin140°cos20°+sin50°sin20°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
其中成立的(  )
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