Question

19．定義在R上的偶函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=lnx-ax，又f（x）=0恰有5個實數(shù)根．
（1）當a為常數(shù)時，求f（x）的解析式；
（2）當x＞0時，是否存在a，使y=$\frac{f（x）}{{{a^2}{x^2}}}$的恒小于1．若存在，求出a的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由5個零點得到f（0）=0，再由奇偶性得到另一段上的解析式．
（2）由作商小于1，可以轉化為做差小于0，再通過構造新函數(shù)，求導，由導函數(shù)的正負得到極大值點．即可得到a的范圍．

解答 解：（1）∵偶函數(shù)f（x），f（x）=0恰有5個實數(shù)根，
∴f（0）=0，
當x＜0時，-x＞0，f（-x）=ln（-x）+ax=f（x），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-ax}&{x＞0}\\{0}&{x=0}\\{ln（-x）+ax}&{x＜0}\end{array}\right.$，
（2）由函數(shù)f（x）=0恰有5個實數(shù)根，則當x＞0時，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，解得：x=$\frac{1}{a}$，
∴f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{e}$，
由y=$\frac{f（x）}{{{a^2}{x^2}}}$的恒小于1，則g（x）=f（x）-a²x²=lnx-ax-a²x²≤0恒成立，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-a-2a²x=$\frac{1-ax-2{a}^{2}x}{x}$=$\frac{（1-2ax）（1+ax）}{x}$
則x=$\frac{1}{2a}$是函數(shù)的極大值點，
∴g（$\frac{1}{2a}$）=-ln2a-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$≤0，得a＞$\frac{{e}^{-\frac{3}{4}}}{2}$，
綜上$\frac{{e}^{-\frac{3}{4}}}{2}$＜a＜$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查求解析式，由5個零點得到f（0）=0，再由奇偶性得到另一段上的解析式．以及函數(shù)關系的轉化，由作商小于1，可以轉化為做差小于0，再通過構造新函數(shù)，求導，由導函數(shù)的正負得到極大值點．即可得到a的范圍．