Question

8．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e₁，以C，D為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)A的橢圓的離心率為e₂，若對(duì)任意x∈（0，1）不等式t＜e₁+e₂恒成立，則t的最大值為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)余弦定理表示出BD，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義可得到a₁的值，再由AB=2c₁，e=$\frac{c}{a}$可表示出e₁，同樣的在橢圓中用c₂和a₂表示出e₂，然后利用換元法即可求出e₁+e₂的取值范圍，即得結(jié)論•

解答 解：在等腰梯形ABCD中，BD²=AD²+AB²-2AD•AB•cos∠DAB
=1+4-2×1×2×（1-x）=1+4x，
由雙曲線的定義可得a₁=$\frac{\sqrt{1+4x}-1}{2}$，c₁=1，e₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$，
由橢圓的定義可得a₂=$\frac{\sqrt{1+4x}+1}{2}$，c₂=x，e₂=$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$，
則e₁+e₂=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$+$\frac{2x}{\sqrt{1+4x}+1}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4x}-1}$+$\frac{\sqrt{1+4x}-1}{2}$，
令t=$\sqrt{1+4x}-1$∈（0，$\sqrt{5}$-1），
則e₁+e₂=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{4}{t}$）在（0，$\sqrt{5}$-1）上單調(diào)遞減，
所以e₁+e₂＞$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{5}$-1+$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$）=$\sqrt{5}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)、雙曲線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．