Question

已知直線l：y=kx-1（k∈R）和拋物線y²=4x．
（1）若直線l與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，直接由判別式大于0得答案；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長(zhǎng)公式得答案．

解答： 解：（1）聯(lián)立

y=kx-1 y2=4x

，得k²x²-（2k+4）x+1=0．
由△=[-（2k+4）]²-4k²=16k+16＞0，解得：k＞-1；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，直線l：y=x-1，
聯(lián)立

y=x-1 y2=4x

，得：x²-6x+1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
∴|AB|=

1+1

•|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

62-4×1

=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，是中檔題．