Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左焦點到直線x-y-2=0的距離為

3

2

2

，左焦點到左頂點的距離為

2

-1
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l過點M（2，0）交橢圓于A，B兩點，是否存在點N（t，0），使得

AB

•

NA

=

BA

•

NB

，若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)左焦點F₁（-c，0），由已知得|c+2|=3，a-c=

2

-1，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)t，當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得x²+2k²（x-2）²=2，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標(biāo)公式、向量知識等結(jié)合已知條件能求出存在0≤t＜

1

2

．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)左焦點F₁（-c，0），
則F₁到直線x-y+2=0的距離d=

|c-2|

2

=

3

2

2

，
|c+2|=3，解得c=1或c=5（舍），
又∵a-c=

2

-1，∴a=

2

，∴b²=2-1=1，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)t，當(dāng)直線斜率不存在時，
設(shè)直線方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得x²+2k²（x-2）²=2，
整理，得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=（-8k²）²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，
化簡，得-16k²+8＞0，即k2＜

1

2

，
∴x1+x2=

8k2

2k2+1

，x1x2=

8k2-2

2k2+1

，
設(shè)AB中點為Q（x₀，y₀），則Q（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
∴x0=

4k2

2k2+1

，y0=k(

4k2

2k2+1

-2)-

-2k

2k2+1

，
∵

AB

•

NA

=

BA

•

NB

，∴

AB

•(

NA

+

NB

)=0，
當(dāng)k=0時，A（-

5

，0），B（

5

，0），

AB

•(

NA

+

NB

)=4

5

t=0，解得t=0，
當(dāng)k≠0時，kNQ=

-2k 2k2+1

4k2 2k2+1 -t

=-

1

k

，
∴

2k2

4k2-t(2k2+1)

=1，解得t=

2k2

2k2+1

，
∵k2＜

1

2

，∴0＜t＜

1

2

，
∴存在0≤t＜

1

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、中點坐標(biāo)公式、向量等知識點的合理運用．