Question

15．（1）證明：$\sqrt{5}-\sqrt{10}＞\sqrt{3}-\sqrt{8}$
（2）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求證：$（\frac{1}{a}-1）（\frac{1}-1）（\frac{1}{c}-1）≥8$．

Answer 1

分析 （1）利用（$\sqrt{5}$+$\sqrt{8}$）²＞（$\sqrt{10}$+$\sqrt{3}$）²，即可證明結(jié)論；
（2）先利用“1”的代換，再利用基本不等式，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵（$\sqrt{5}$+$\sqrt{8}$）²＞（$\sqrt{10}$+$\sqrt{3}$）²，
∴$\sqrt{5}$+$\sqrt{8}$＞$\sqrt{10}$+$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{5}-\sqrt{10}＞\sqrt{3}-\sqrt{8}$
（2）∵a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，
∴左邊=$\frac{b+c}{a}•\frac{a+c}•\frac{a+b}{c}$$≥\frac{2\sqrt{bc}•2\sqrt{ac}•2\sqrt{ab}}{abc}$=8（a=b=c時取等號），
∴$（\frac{1}{a}-1）（\frac{1}-1）（\frac{1}{c}-1）≥8$．

點評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．