Question

14．已知直角△ABC的兩直角邊AB、AC的邊長分別為方程x²-2（1+$\sqrt{3}$）x+4$\sqrt{3}$=0的兩根，且AB＜AC，斜邊BC上有異于端點B、C的兩點E、F，且EF=1，設(shè)∠EAF=θ，則tanθ的取值范圍為（$\frac{\sqrt{3}}{9}$，$\frac{4\sqrt{3}}{11}$]．

Answer 1

分析 解方程可得AB=2，AC=2$\sqrt{3}$，建系可得A（0，0），B（2，0），C（0，2$\sqrt{3}$），設(shè)E（a，$\sqrt{3}$（2-a）），F(xiàn)（b，$\sqrt{3}$（2-b）），a＞b，$\frac{1}{2}$＜a＜2，由EF=1可得b=a-$\frac{1}{2}$，可得tan∠BAE=$\frac{\sqrt{3}（2-a）}{a}$，tan∠BAF=$\frac{\sqrt{3}（2-b）}$，代入tanθ=tan（∠BAF-∠BAE）=$\frac{tan∠BAF-tan∠BAE}{1+tan∠BAFtan∠BAE}$=$\frac{\sqrt{3}}{4{a}^{2}-14a+15}$，由$\frac{1}{2}$＜a＜2和二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．

解答 解：解方程x²-2（1+$\sqrt{3}$）x+4$\sqrt{3}$=0結(jié)合AB＜AC可得AB=2，AC=2$\sqrt{3}$，
建立如圖所示的坐標系，可得A（0，0），B（2，0），C（0，2$\sqrt{3}$），
可得直線BC的方程為$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{2\sqrt{3}}$=1，可得y=$\sqrt{3}$（2-x），
故設(shè)E（a，$\sqrt{3}$（2-a）），F(xiàn)（b，$\sqrt{3}$（2-b）），a＞b，$\frac{1}{2}$＜a＜2
則由EF=$\sqrt{（a-b）^{2}+3（2-a-2+b）^{2}}$=2（a-b）=1，可得b=a-$\frac{1}{2}$，
∴tan∠BAE=$\frac{\sqrt{3}（2-a）}{a}$，tan∠BAF=$\frac{\sqrt{3}（2-b）}$，
∴tanθ=tan（∠BAF-∠BAE）=$\frac{tan∠BAF-tan∠BAE}{1+tan∠BAFtan∠BAE}$
=$\frac{\frac{\sqrt{3}（2-b）}-\frac{\sqrt{3}（2-a）}{a}}{1+\frac{\sqrt{3}（2-b）}•\frac{\sqrt{3}（2-a）}{a}}$=$\frac{2\sqrt{3}（a-b）}{4ab-6a-6b+12}$=$\frac{\sqrt{3}}{4{a}^{2}-14a+15}$，
由$\frac{1}{2}$＜a＜2和二次函數(shù)的性質(zhì)可得t=4a²-14a+15∈[$\frac{11}{4}$，9），
∴$\frac{\sqrt{3}}{4{a}^{2}-14a+15}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{9}$，$\frac{4\sqrt{3}}{11}$]，
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{9}$，$\frac{4\sqrt{3}}{11}$]．

點評 本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，涉及二次函數(shù)的最值和一元二次方程的解法，屬中檔題．