【題目】已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1= ,公比q= 的等比數(shù)列,設(shè)bn+2=3log an(n∈N*),數(shù)列{cn}滿(mǎn)足cn=anbn .
(1)求證:{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)若cn≤ +m﹣1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由題意知,an=( )n.
∵ ,
∴b1=1
∴bn+1﹣bn=3 log an+1﹣3 log an=3 log =3 log q=3
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列
(2)解:由(1)知,an=( )n.bn=3n﹣2
∴Cn=(3n﹣2)×( )n.
∴Sn=1× +4×( )2+…+(3n﹣2)×( )n,
于是 Sn=1×( )2+4×( )3+…(3n﹣2)×( )n+1,
兩式相減得 Sn= +3×[( )2+( )3+…+( )n)﹣(3n﹣2)×( )n+1,
= ﹣(3n+2)×( )n+1,
∴Sn= ﹣ ( )n
(3)解:∵Cn+1﹣Cn=(3n+1)×( )n+1﹣(3n﹣2)×( )n=9(1﹣n)×( )n+1,
∴當(dāng)n=1時(shí),C2=C1=
當(dāng)n≥2時(shí),Cn+1<Cn,即C2=C1>C3>C4>…>Cn
∴當(dāng)n=1時(shí),Cn取最大值是
又
∴ ≥
即m2+4m﹣5≥0解得m≥1或m≤﹣5
【解析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得an , 代入 求得bn+1﹣bn為常數(shù),進(jìn)而判斷出數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.(2)由(1)可分別求得an和bn , 進(jìn)而求得Cn進(jìn)而用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.(3)把(2)中的Cn , 代入Cn+1﹣Cn結(jié)果小于0,進(jìn)而判斷出當(dāng)n≥2時(shí),Cn+1<Cn , 進(jìn)而可推斷出當(dāng)n=1時(shí),Cn取最大值,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 ≥ ,求得m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即-=d ,(n≥2,n∈N)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列;數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為了解廣告投入對(duì)銷(xiāo)售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用,并將各地的銷(xiāo)售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從開(kāi)始計(jì)數(shù)的. [附:回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.]
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度;
(2)試估計(jì)該公司投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后,對(duì)應(yīng)銷(xiāo)售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);
(3)該公司按照類(lèi)似的研究方法,測(cè)得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入 (單位:萬(wàn)元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷(xiāo)售收益 (單位:萬(wàn)元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的數(shù)據(jù)顯示, 與之間存在著線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)將(2)的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線(xiàn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知an=logn+1(n+2)(n∈N+),觀察下列運(yùn)算:a1a2=log23log34= =2;a1a2a3a4a5a6=log23log34…log67lg78= =3;….定義使a1a2a3…ak為整數(shù)的k(k∈N+)叫做希望數(shù),則在區(qū)間[1,2016]內(nèi)所有希望數(shù)的和為( )
A.1004
B.2026
C.4072
D.22016﹣2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明同學(xué)在寒假社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中,對(duì)白天平均氣溫與某家奶茶店的品牌飲料銷(xiāo)量之間的關(guān)系進(jìn)行了分析研究,他分別記錄了1月11日至1月15日的白天氣溫()與該奶茶店的品牌飲料銷(xiāo)量(杯),得到如表數(shù)據(jù):
日期 | 1月11號(hào) | 1月12號(hào) | 1月13號(hào) | 1月14號(hào) | 1月15號(hào) |
平均氣溫() | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
銷(xiāo)量(杯) | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)若先從這五組數(shù)據(jù)中抽出2組,求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;
(2)請(qǐng)根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程式;
(3)根據(jù)(2)所得的線(xiàn)性回歸方程,若天氣預(yù)報(bào)1月16號(hào)的白天平均氣溫為,請(qǐng)預(yù)測(cè)該奶茶店這種飲料的銷(xiāo)量.
(參考公式:,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一種放射性元素,最初的質(zhì)量為500克,按每年10%衰減.
(1)求t年后,這種放射性元素的質(zhì)量w的表達(dá)式;
(2)用求出的函數(shù)表達(dá)式,求這種放射性元素的半衰期.(放射性元素的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變時(shí)所需要的時(shí)間,叫“半衰期”)(lg0.5≈﹣0.3010,lg0.9≈﹣0.0458,結(jié)果精確到0.1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù), 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸平行.
(1)求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.
在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫(xiě)出直線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn).若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn),設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的△ABO的直觀圖,已知O′B′=4,且△ABO的面積為16,過(guò)A′作A′C′⊥x′軸,則A′C′的長(zhǎng)為( )
A.
B.
C.
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱柱中, , , 為的中點(diǎn).
(1)證明: 平面;
(2)若,點(diǎn)在平面的射影在上,且側(cè)面的面積為,求三棱錐的體積.
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