Question

3．已知F₁、F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P是橢圓上的任意一點，△PF₁F₂面積的最大值為$\sqrt{3}$，且橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)點Q（0，$\sqrt{3}$），點N在橢圓上，且直線QN的斜率存在，求使△QF₂N面積取最大值時直線QN的方程．

Answer 1

分析 （1）由△PF₁F₂面積的最大值為$\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}×2c×b$=$\sqrt{3}$，又$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可．
（2）由題意設(shè)直線QN的方程為y=kx+$\sqrt{3}$，與橢圓方程聯(lián)立化為$（3+4{k}^{2}）{x}^{2}+8\sqrt{3}kx$=0，解得x，可得N，|QN．利用點到直線的距離公式可得點F₂（1，0）到直線QN的距離d，可得${S}_{△Q{F}_{2}N}$=$\frac{1}{2}|QN|•d$，利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵△PF₁F₂面積的最大值為$\sqrt{3}$，∴$\frac{1}{2}×2c×b$=$\sqrt{3}$，化為bc=$\sqrt{3}$．
又$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由題意設(shè)直線QN的方程為y=kx+$\sqrt{3}$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
化為$（3+4{k}^{2}）{x}^{2}+8\sqrt{3}kx$=0，
解得x=0或x=$\frac{-8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，
∴N$（\frac{-8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}，\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）$．
∴|QN|=$\sqrt{（\frac{-8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{8|k|\sqrt{3+3{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$．
點F₂（1，0）到直線QN的距離d=$\frac{|k+\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴${S}_{△Q{F}_{2}N}$=$\frac{1}{2}|QN|•d$=$\frac{1}{2}×$$\frac{8|k|\sqrt{3+3{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$×$\frac{|k+\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}|{k}^{2}+\sqrt{3}k|}{3+4{k}^{2}}$，
由圖象可知：取k＞0即可．
∴${S}_{△Q{F}_{2}N}$=$\frac{4\sqrt{3}（{k}^{2}+\sqrt{3}k）}{3+4{k}^{2}}$=f（k），
f′（k）=$\frac{-48（k-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}）（k-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{15}}{4}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$，
當$0＜k＜\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}$時，f′（k）＞0，函數(shù)f（k）單調(diào)遞增；當$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}＜k$時，f′（k）＜0，函數(shù)f（k）單調(diào)遞減．
∴當k=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}$時，函數(shù)f（k）取得最大值，此時直線QN的方程為：$y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}x+\sqrt{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、三角形面積計算公式、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．