Question

13．已知函數(shù)f（x）=cos（x+φ）+$\sqrt{3}$sin（x-φ）（-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）是定義在R上的偶函數(shù)．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再將所得圖象個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上的值域．

Answer 1

分析 根據(jù)偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x），求出φ的值，然后利用和差公式化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)圖象變換求出g（x）的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的值域求解函數(shù)g（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f-x）=f（x）．
即cos（-x+φ）+$\sqrt{3}$sin（-x-φ）=cos（x+φ）+$\sqrt{3}$sin（x-φ）
化簡(jiǎn)得：2sinxsinφ-2$\sqrt{3}sinxcos$φ=0
2sinx（sinφ-$\sqrt{3}$cosφ）=0
4sinxsin（φ-$\frac{π}{3}$）=0．
上式對(duì)于任意的x恒成立，所以sin（φ-$\frac{π}{3}$）=0．
∴φ-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z．
∵-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）f（x）=cos（x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$）
=$\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{3}{2}cosx$
=-cosx，
函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得y=-cos（x$+\frac{π}{6}$）的圖象；再將所得圖象個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，得y=-cos（2x$+\frac{π}{6}$）的圖象．
∴g（x）=-cos（2x$+\frac{π}{6}$）．
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）∴$\frac{π}{6}＜2x+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}＜$-cos（2x$+\frac{π}{6}$）≤1．
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上的值域?yàn)椋?$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的奇偶性、值域及三角函數(shù)圖象的變換，函數(shù)奇偶性的定義是解決函數(shù)奇偶性問(wèn)題的一般方法，在圖象平移變換時(shí)“左加右減，上加下減”，伸縮變換注意系數(shù)的變化．