Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，側(cè)面AA₁BB₁⊥底面ABC，D為CC₁中點(diǎn)，E為A₁B₁的中點(diǎn)，∠ABB₁=60°．
（1）求證：C₁E∥平面A₁BD；
（2）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（3）求點(diǎn)三棱錐A-A₁BD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AA₁中點(diǎn)P，BB₁中點(diǎn)Q，連接PD，QD，PQ，取A₁B中點(diǎn)為N，由已知得DN∥C₁E，由此能證明C₁E∥平面A₁BD．
（2）連結(jié)AB₁，由已知得四邊形A₁ABB₁為菱形，由此能證明AB₁⊥平面A₁BD．
（3）由已知得S△A1BD=

1

2

A1B•DN=

1

2

×2

3

×

3

=3，AN=1，由此能求出三棱錐A-A₁BD的體積．

解答： （1）證明：取AA₁中點(diǎn)P，BB₁中點(diǎn)Q，連接PD，QD，PQ，
∵P，Q，D分別是AA₁，BB₁，CC₁的中點(diǎn)，
∴PD∥A₁C₁，∴平面A₁B₁C₁∥平面PDQ，
∴QD∥B₁C₁，PQ∥A₁B₁，
取A₁B中點(diǎn)為N，∴DN在平面PDQ內(nèi)，
∴DN∥平面A₁BC，
∴DN∥C₁E，
∵CN?平面A₁BD，C₁E不包含于平面A₁BD，
∴C₁E∥平面A₁BD．
（2）證明：連結(jié)AB₁，
∵在四邊形A₁ABB₁中，AA₁=AB=BB₁=A₁B₁=2，
∠ABB₁=60°，∴四邊形A₁ABB₁為菱形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵A₁B在平面A₁BD內(nèi)，
∴AB₁⊥平面A₁BD．
（3）解：∵A₁B₁=B₁B=2，∠ABB₁=60°，
∴A1B=2

3

，DN=

3

，
S△A1BD=

1

2

A1B•DN=

1

2

×2

3

×

3

=3，
AN=1，
∴三棱錐A-A₁BD的體積V=

1

3

×AN×S△A1BD=

1

3

×1×3=1．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．