Question

已知y=f（x）是定義域為R的奇函數，當x∈[0，+∞）時，f（x）=x²-2x．
（1）寫出函數y=f（x）的解析式：
（2）p：方程f（x）=a恰有1個解，q：函數g（x）=x²+lnx-ax在（0，1）內有單調遞增，若命題p∧q是假命題，命題p∨q是真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,復合命題的真假

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：（1）當x∈（-∞，0）時，-x∈（0，+∞），根據條件和奇函數的性質，求出函數y=f（x）的解析式；
（2）根據函數f（x）的表達式配方后畫出圖象，根據圖象求出p真命題時a的取值范圍，由求導公式g′（x），將q為真命題轉化成g′（x）≥0在（0，1）上恒成立，將a分離出來，利用基本不等式求出另一側的最值，即可求出所求a的范圍，再由復合命題的真假分類求解，再求并集即得a的取值范圍．

解答： 解：（1）當x∈（-∞，0）時，-x∈（0，+∞），
∵y=f（x）是奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-（（-x）²-2（-x））=-x²-2x，
則f(x)=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

，
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，最小值為-1；
∴當x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²-2x=1-（x+1）²，最大值為1．
∴據此可作出函數y=f（x）的圖象，根據圖象得，
p為真命題：若方程f（x）=a恰有1個不同的解，則a的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，∞）；
由g（x）=x²+lnx-ax得，g′(x)=2x+

1

x

-a，
當q為真命題時：函數g（x）=x²+lnx-ax在（0，1）內有單調遞增，
則g′(x)=2x+

1

x

-a≥0在（0，1）恒成立，
即a≤2x+

1

x

恒成立，
∵x∈（0，1），∴2x+

1

x

≥

2

（當且僅當2x=

1

x

時取等號），則a≤

2

，
∵命題“p∨q”是真命題，“p∧q”是假命題，
∴命題p與q必然一真一假．
若p真q假，則

a＜-1或a＞1 a＞ 2

，得a＞

2

，
若p假q真，則

-1≤a≤1 a≤ 2

，得-1≤a≤1，
∴a的取值范圍是-1≤a≤1或a＞

2

．

點評：本題考查函數奇偶性的應用，方程根的個數問題，利用導數研究函數的單調性，以及恒成立問題，復合命題的真假判斷，考查了分類討論思想和數形結合思想，利用數形結合是解決本題的關鍵．