Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知AB⊥AD，PA=PD，D為AD的中點，AB⊥PO，E為線段DC上一點，向量

DE

=

AB

．
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）若PO=

3

，AD=AB=2，點C到平面PBE的距離為

2

7

21

，求平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由PO⊥AD，得PO⊥平面ABCD，從而PO⊥DE，由已知得四邊形ABED為正方形，從而DE⊥AD，由此能證明平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅱ）以O(shè)為原點，射線OA所在直線為x軸，過點O作AD的垂線為y軸，建立空間直線角坐標(biāo)系，利用向量法能求出
平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA=PD，O為AD的中點，∴PO⊥AD，
又∵AB⊥PO，AB∩AD=A，∴PO⊥平面ABCD，
又DE?平面ABCD，∴PO⊥DE，
連接OB，OE，則PO⊥OB，PO⊥OE，
又∵AB⊥AD，

DE

=

AB

，AD=AB=2，
∴四邊形ABED為正方形，
∴DE⊥AD，又AD∩PO=O，
∴DE⊥平面PAD，又DE?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：∵PA=PD，O為AD中點，∴PO⊥AD，
又∵AB⊥PO，AB∩AD=A，∴PO⊥平面ABCD，
由（Ⅰ）知AB⊥平面PAD，
∴以O(shè)為原點，射線OA所在直線為x軸，過點O作AD的垂線為y軸，
建立空間直線角坐標(biāo)系，
由條條件得A（1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，

3

），D（-1，0，0），
∵

DE

=

AB

，∴E（-1，2，0），設(shè)C（-1，y，0），y＞0，
則

PA

=(1，0，-

3

)，

PD

=(-1，0，-

3

)，

PB

=(1，2，-

3

)，

BE

=(-2，0，0)，

PC

=(-1，y，-

3

)，
設(shè)平面PBE的法向量為

n

=（x，y，z），由

n

•

PB

=0，且

n

•

BE

=0，
得

n

=(0，

3

，2)，
∴點C到平面PBE的距離為d=

| PC • n |

| n |

=

| 3 y-2 3 |

7

=

2

7

21

，
解得y=7（取正值），∴

PC

=(-1，4，-

3

)，
設(shè)平面PBC的法向量

m

=(x，y，z)，則由

m

•

PB

=0，且

m

•

PC

=0，
得

m

=(

3

3

z，

3

3

z，z)，取z=

3

，得

m

=(1，1，

3

)，
∵

AB

=(0，2，0)\為平面PAD的一個法向量，
∴cos＜

AB

，

m

＞=

AB • m

| AB |×| m |

=

2

5 ×2

=

5

5

．
∴平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值為

5

5

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．