Question

已知拋物線y=x²上的兩點(diǎn)A、B滿足

AP

=λ

PB

，λ＞0，其中點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，1），

OM

=

OA

+

OB

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求四邊形OAMB的面積的最小值；
（2）求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

（Ⅰ）由

AP

=λ

PB

知A、P、B三點(diǎn)在同一條直線上，
設(shè)該直線方程為y=kx+1，
A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）．
由

y=kx+1 y=x2

，得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+x₁²x₂²=-1+（-1）²=0，
∴

OA

⊥

OB

．
又OAMB是平行四邊形，
∴四邊形OAMB是矩形，
∴S=|

OA

|•|

OB

|
=

x 21 + x 41

•

x 22 + x 42

=-x₁x₂

(1+ x 21 )(1+ x 22 )

=

1+ x 21 + x 22 +(x1x2)2

=

2+(x1+x2)2-2x1x2

=

4+k2

．
∴當(dāng)k=0時(shí)，S取得最小值是2．
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），
∴

x=x1+x2 y= x 21 + x 22

，
消去x₁和x₂，
得x²=y-2，
∴點(diǎn)M的軌跡是y=x²+2．