Question

2．用一塊直三棱柱木塊ABC-A₁B₁C₁加工成長方體MNEF-M₁N₁E₁F₁，其中MN∥BC，EF在BC上，若AA₁=AC=30，AB=50，BC=40，則長方體體積最大值為9000．

Answer 1

分析 利用題意判斷得出EM=x，MN=y，幾何體的高度為三棱錐的高度，底面如圖，F(xiàn)與C點重合，此時只要底面積最大即可得出體積最大，列出函數(shù)式子S=x（40-$\frac{4}{3}$x）=-$\frac{4}{3}$x²+40x，0＜x＜30，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：根據(jù)題意得出幾何體如圖，
設(shè)EM=x，MN=y，幾何體的高度為三棱錐的高度，底面如圖，F(xiàn)與C點重合，此時只要底面積最大即可得出體積最大，
根據(jù)三角形的幾何性質(zhì)得出：$\frac{x}{30}$=$\frac{40-y}{40}$，0＜x＜30，
y=40-$\frac{4}{3}$x，
∴底面EFMN的面積S=x（40-$\frac{4}{3}$x）=-$\frac{4}{3}$x²+40x，0＜x＜30，
根據(jù)二次函數(shù)得出：x=15時，S的最大值為15×（40-$\frac{4}{3}$×15）=300，
∴長方體體積最大值為30×300=9000，
故答案為：9000

點評 本題考查了運用函數(shù)的思想求解幾何圖形終端最大值問題，關(guān)鍵是列出式子，確定邊長，難度不大，屬于中檔題，考查了學(xué)生運用代數(shù)思想解決空間幾何圖形的能力．