Question

7．關(guān)于曲線C：x${\;}^{\frac{1}{2}}$+y${\;}^{\frac{1}{2}}$=1，給出下列四個命題：
①曲線C有且僅有一條對稱軸；        
②曲線C的長度l滿足l＞$\sqrt{2}$；
③曲線C上的點到原點距離的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
④曲線C與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積是$\frac{1}{6}$
上述命題中，真命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 將方程中的x換為y，y換為x，方程不變，判斷出①正確；通過對曲線的性質(zhì)，得到②正確；構(gòu)造距離關(guān)系式，得到③正確，利用積分的幾何意義，得到④正確．

解答 解：對于①：將方程中的x換為y，y換為x，方程不變，
故該曲線C關(guān)于直線y=x對稱，如下圖所示：

故①正確；
對于②：根據(jù)曲線C：x${\;}^{\frac{1}{2}}$+y${\;}^{\frac{1}{2}}$=1，得
y=（$\sqrt{x}-1$）²，（0≤x≤1），
其中兩個端點為A（0，1），B（1，0），
此時|AB|=$\sqrt{2}$，
因為該曲線為曲線，
∴曲線C的長度l滿足l＞$\sqrt{2}$；
故②正確；
對于③：設(shè)點P（x，y）為曲線C上任意一點，
則|OP|²=x²+y²
=x²+（$\sqrt{x}-1$）⁴，
=2x²+6x-4${x}^{\frac{3}{2}}$-4${x}^{\frac{1}{2}}$+1
∵x∈[0，1]，
∴|OP|的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，故③正確；
對于④：曲線C與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積設(shè)為S，則
S=${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{x}$-1）²dx=${∫}_{0}^{1}$（x-2$\sqrt{x}$+1）dx=$\frac{1}{6}$，
故④正確；
綜上，①②③④都正確；
故選：A．

點評 本題考查對稱問題、最值問題的處理思路和方法、定積分的基本運算等知識，屬于難題．