Question

1．從圓（x-2）²+（y-3）²=1外一點(diǎn)p（a，b）引此圓的一條切線，其切點(diǎn)為Q．
（1）若p點(diǎn)到Q和原點(diǎn)的距離相等，求a，b的關(guān)系式．
（2）在條件（1）下，求出使得切線長(zhǎng)pQ為最小的點(diǎn)p的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，可以得到關(guān)于a，b的關(guān)系式；
（2）由（1）可知，點(diǎn)P的軌跡是一條直線，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小的問(wèn)題求解即可．

解答 解：（1）由題意設(shè)P（a，b），則由已知得：
a²+b²=（a-2）²+（b-3）²-1，整理得2a+3b-6=0．
（2）由（1）知P的軌跡為直線l：2x+3y-6=0．
因?yàn)閨PQ|=|PO|，所以只需|PO|最小即可．
則當(dāng)PO⊥l時(shí)，|PO|最小，所以${k}_{PO}=-\frac{1}{{k}_{l}}=\frac{3}{2}$．
所以PO方程為y=$\frac{3}{2}x$．聯(lián)立2x+3y-6=0．
解得P（$\frac{12}{13}，\frac{18}{13}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了直線與圓的方程的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合的思想．更要注意轉(zhuǎn)化思想在本題中的應(yīng)用．