Question

7．已知函數(shù)f（x）=sin²（x-$\frac{π}{3}$）+2acos（x+$\frac{π}{6}$）．
（1）若a=1，且α是第三象限角，f（α）=-$\frac{5}{9}$，求tan（α-$\frac{π}{3}$）的值；
（2）若y=f（x）在x∈R上有最小值-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）若a=1，則f（x）=sin²（x-$\frac{π}{3}$）-2sin（x-$\frac{π}{3}$），由f（α）=-$\frac{5}{9}$，可得sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，α-$\frac{π}{3}$是第二象限角，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式，可得tan（α-$\frac{π}{3}$）的值；
（2）令sin（x-$\frac{π}{3}$）=t，則y=f（x）=t²-2at，t∈[-1，1]，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，及y=f（x）在x∈R上有最小值-2，可得滿足條件的a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin²（x-$\frac{π}{3}$）+2acos（x+$\frac{π}{6}$）=sin²（x-$\frac{π}{3}$）-2asin[（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{2}$]=sin²（x-$\frac{π}{3}$）-2asin（x-$\frac{π}{3}$）
（1）若a=1，則f（x）=sin²（x-$\frac{π}{3}$）-2sin（x-$\frac{π}{3}$），
由f（α）=sin²（α-$\frac{π}{3}$）-2sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{5}{9}$得：sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，或sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{3}$（舍去），
∵α是第三象限角，
∴α-$\frac{π}{3}$是第二象限角，
∴cos（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，tan（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
（2）令sin（x-$\frac{π}{3}$）=t，則y=f（x）=t²-2at，t∈[-1，1]，
∵y=f（x）在x∈R上的圖象是開口朝上，且以t=a為對稱軸的拋物線，且有最小值-2，
∴當(dāng)a≤-1時，1+2a=-2，解得：a=$-\frac{3}{2}$，
當(dāng)-1＜a＜1時，-a²=-2，解得：a=$±\sqrt{2}$（舍去）
當(dāng)a≥1時，1-2a=-2，解得：a=$\frac{3}{2}$，
綜上所述：a=±$\frac{3}{2}$

點評 本題考查的知識點是二倍角公式和和差角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式，難度中檔．