Question

20．已知函數f（x）=x+$\frac{a}{{e}^{x}}$（e為自然底數）．
（1）當a=e時，求函數y=f（x）的極值；
（2）是否存在正數a，使得f（x）＞a在定義域內恒成立？若存在，求此滿足要求的a；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最小值即可；
（2）構造F（x）=x+$\frac{a}{{e}^{x}}$-a＞0，求出F（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，判斷即可．

解答 解：（1）a=e時，f（x）=x+$\frac{a}{{e}^{x}}$，f′（x）=1-$\frac{e}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）的最小值是f（1）=2；
（2）由f（x）＞a，得：F（x）=x+$\frac{a}{{e}^{x}}$-a＞0，F′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，（a＞0），
令F′（x）＞0，解得：x＞lna，令F′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴F（x）在（-∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增，
∴F（x）＞F（lna）=lna+1-a＞0，
令g（a）=lna+1-a，g′（a）=$\frac{1-a}{a}$，
∴g（a）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，而g（1）=0，
∴g（a）≤0，
∴不存在正數a．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．