Question

若點(diǎn)O和點(diǎn)F（2，0）分別是雙曲線x²-

y2

a2

=1（a＞0）的中心和右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則

OP

•

FP

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可求得a²=3，從而化出雙曲線方程為x²-

y2

3

=1，設(shè)點(diǎn)P（

1+ y2 3

，y），從而表達(dá)出

OP

•

FP

=（

1+ y2 3

，y）•（

1+ y2 3

-2，y）=1+

y2

3

-2

1+ y2 3

+y²，利用換元法求值域．

解答： 解：由題意，1+a²=4，
解得a²=3，
則雙曲線方程為x²-

y2

3

=1，
∵點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)P（

1+ y2 3

，y），
則

OP

•

FP

=（

1+ y2 3

，y）•（

1+ y2 3

-2，y）
=1+

y2

3

-2

1+ y2 3

+y²
令

1+ y2 3

=t，t≥1；y²=3t²-3；
故

OP

•

FP

=4t²-2t-3，
其在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故

OP

•

FP

≥4-2-3=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義及換元法求函數(shù)的值域，屬于難題．