Question

離心率為

5

5

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線x=ky+1與C交于相異兩點M、N，且

OM

•

ON

=-

31

9

（O是坐標(biāo)原點），求k．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

c a = 5 5 c=1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）聯(lián)立

x2 5 + y2 4 =1 x=ky+1

，得（4k²+5）y²+8ky-16=0，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式并結(jié)合

OM

•

ON

=-

31

9

，能求出k的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵離心率為

5

5

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點
分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴

c a = 5 5 c=1 a2=b2+c2

，解得a²=5，b²=4，
∴橢圓方程為

x2

5

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）聯(lián)立

x2 5 + y2 4 =1 x=ky+1

，消去x，并整理得（4k²+5）y²+8ky-16=0，
∵直線x=ky+1與C交于相異兩點M、N，且

OM

•

ON

=-

31

9

（O是坐標(biāo)原點），
∴△=64k²+64（4k²+5）＞0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則

y1+y2= -8k 4k2+5 y1•y2= -16 4k2+5

，∵x₁x₂=（ky₁+1）（ky₂+1），
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂
=k²y₁y₂+k（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-

16k2

4k2+5

-

8k2

4k2+5

+1-

16

4k2+5

=

-20k2-11

4k2+5

=-

31

9

，
解得k²=1，∴k=±1．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查實數(shù)k的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．