Question

已知橢圓W：

x2

2

+y2=1，直線l與W相交于M，N兩點(diǎn)，l與x軸、y軸分別相交于C、D兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若直線l的方程為x+2y-1=0，求△OCD外接圓的方程；
（Ⅱ）判斷是否存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由直線l的方程為x+2y-1=0，求出C，D的坐標(biāo)，進(jìn)而可求△OCD外接圓的圓心與半徑，即可求△OCD外接圓的方程；
（Ⅱ）存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)．設(shè)直線l的方程為y=kx+m（km≠0），與橢圓方程聯(lián)立，由C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)，得線段MN的中點(diǎn)與線段CD的中點(diǎn)重合，利用韋達(dá)定理，求出k，由C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)，得|MN|=3|CD|，求出m，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）因為直線l的方程為x+2y-1=0，
所以與x軸的交點(diǎn)C（1，0），與y軸的交點(diǎn)D(0，

1

2

)．…（1分）
則線段CD的中點(diǎn)(

1

2

，

1

4

)，|CD|=

1+( 1 2 )2

=

5

2

，…（3分）
即△OCD外接圓的圓心為(

1

2

，

1

4

)，半徑為

1

2

|CD|=

5

4

，
所以△OCD外接圓的方程為(x-

1

2

)2+(y-

1

4

)2=

5

16

．…（5分）
（Ⅱ）存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)．
理由如下：
由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+m（km≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則C(-

m

k

，0)，D（0，m），…（6分）
由方程組

y=kx+m x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，…（7分）
所以△=16k²-8m²+8＞0，（*）              …（8分）
由韋達(dá)定理，得x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

．…（9分）
由C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)，得線段MN的中點(diǎn)與線段CD的中點(diǎn)重合．
所以x1+x2=

-4km

1+2k2

=0-

m

k

，…（10分）
解得k=±

2

2

．…（11分）
由C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)，得|MN|=3|CD|．
所以

1+k2

|x1-x2|=3

( m k )2+m2

，…（12分）
即 |x1-x2|=

( -4km 1+2k2 )2-4× 2m2-2 1+2k2

=3|

m

k

|，
解得 m=±

5

5

．…（13分）
驗證知（*）成立．
所以存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)，此時直線l的方程為y=

2

2

x±

5

5

，或y=-

2

2

x±

5

5

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．