在如圖所示的多面體中，四邊形ABCD為正方形，四邊形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，AB=AQ=
1
2
DP．
（1）求證：PQ⊥平面DCQ；
（2）求平面BCQ與平面ADPQ所成的銳二面角的大�。�
考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線(xiàn)與平面垂直的判定
專(zhuān)題：空間角
分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA、DP、DC所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PQ⊥平面DCQ．
（2）分別求出平面ADPQ的一個(gè)法向量和平面BCQ的一個(gè)法向量，由此利用向量法能求出平面BCQ與平面ADPQ所成的銳二面角的大�。�
解答： （1）證明：由已知，DA，DP，DC兩兩垂直，
以D為原點(diǎn)，DA、DP、DC所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．…（1分）
設(shè)A=a，則D（0，0，0），C（0，0，a），Q（a，a，0），P（0，2a，0），
∴
DC
=（0，0，a），
DQ
=（a，a，0），
PQ
=（a，-a，0），…（3分）
∵
DC
•
PQ
=0，
DQ
•
PQ
=0，
∴DC⊥PQ，DQ⊥PQ，…（5分）
∴PQ⊥平面DCQ．…（6分）
（2）解：∵DC⊥平面ADPQ，
DC
=（0，0，a），
∴平面ADPQ的一個(gè)法向量為
n
=(0，0，1)，…（1分）
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0，a），則
QB
=(0，-a，a)，
QC
=(-a，-a，a)，…（2分）
設(shè)平面BCQ的一個(gè)法向量為
m
=（x，y，z），則
m
•
QB
=0，
m
•
QC
=0，
∴
-ay+az=0
-ax-ay+az=0
，取y=z=1，得
m
=（0，1，1），…（5分）                              …（5分）
設(shè)平面BCQ與平面ADPQ所成的銳二面角為θ，
則cosθ=|cos＜
m
，
n
＞|=|
1
2
|=
2
2
．  …（7分）
∴平面BCQ與平面ADPQ所成的銳二面角的大小為
π
4
．…（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線(xiàn)l的斜率與直線(xiàn)3x-2y=6的斜率相等，且直線(xiàn)l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

高考理科總分得640就能上北京大學(xué)，已知一名理科學(xué)生的語(yǔ)文、英語(yǔ)、理綜合得分分別為135分，125分，260分．?dāng)?shù)學(xué)試卷中12個(gè)選擇題每題5分，且每題答對(duì)的概率都是0.9，4個(gè)填空題每題4分且每題答對(duì)的概率都是0.8，6個(gè)大題前五個(gè)每題12分，最后一題14分，前兩個(gè)大題估計(jì)能得滿(mǎn)分，最后一個(gè)大題估計(jì)能得2分．已知第三、四、五個(gè)大題每題答對(duì)的概率都相等，且至少答對(duì)一題的概率為0.992．
（1）求這名理科學(xué)生數(shù)學(xué)試卷得分的期望；
（2）這名學(xué)生能否考上北京大學(xué)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使得|f（x）|≥M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱(chēng)f（x）為“圓錐托底型”函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=2x，g（x）=x3是否為“圓錐托底型”函數(shù)？并說(shuō)明理由．
（2）若f（x）=x2+1是“圓錐托底型”函數(shù)，求出M的最大值．
（3）問(wèn)實(shí)數(shù)k、b滿(mǎn)足什么條件，f（x）=kx+b是“圓錐托底型”函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S17為一確定常數(shù)，則當(dāng)n為何值時(shí)，可以使4a2-3a9+an也為確定常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱(chēng)出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖，如圖．
（1）求a的值；
（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的平均值；
（注：設(shè)樣本數(shù)據(jù)第i組的頻率為pi，第i組區(qū)間的中點(diǎn)值為xi（i=1，2，3，…，n），則樣本數(shù)據(jù)的平均值為
.
X
=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn．）
（3）從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中重量在（5，15]內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目投資十萬(wàn)元，一年可進(jìn)行四次獨(dú)立重復(fù)的投資（即甲項(xiàng)目的投資周期為3個(gè)月）每次成功的概率均為
1
4
，若成功一次，可得利潤(rùn)1萬(wàn)元，若失敗，則利潤(rùn)為0，投資要么成功，要么失�。阎翼�(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是p（0＜p＜1），記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行兩次獨(dú)立的調(diào)整，設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為ξ，對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，ξ取0、1、2時(shí)，一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.4萬(wàn)元、1.1萬(wàn)元、0.4萬(wàn)元，隨機(jī)變量ξ1、ξ2分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬(wàn)元一年后的利潤(rùn)．
（Ⅰ）求ξ1、ξ2的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ1）、E（ξ2）；
（Ⅱ）當(dāng)E（ξ1）＜E（ξ2）時(shí)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

8個(gè)球隊(duì)中有甲、乙、丙3個(gè)強(qiáng)隊(duì)．任意將這8個(gè)隊(duì)分成A、B兩組（每組4個(gè)隊(duì)）進(jìn)行比賽．
（1）共有多少種分法？
（2）求至少有兩個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在A組中的概率；
（3）求甲、乙兩隊(duì)不分在同一組的概率；
（4）設(shè)強(qiáng)隊(duì)分在同一組的隊(duì)數(shù)為ξ，求ξ的期望值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

離心率為
5
5
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)x=ky+1與C交于相異兩點(diǎn)M、N，且
OM
•
ON
=-
31
9
（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求k．

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