Question

已知關于的函數(shù)，其導函數(shù)為．記函數(shù) 在區(qū)間上的最大值為．

(1) 如果函數(shù)在處有極值，試確定的值；

(2) 若，證明對任意的，都有；

(3) 若對任意的恒成立，試求的最大值．

 

Answer 1

（1），；（2）證明詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值等基礎知識，考查學生的轉化能力、分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，先對求導，由于在x=1處有極值，則，，列出方程組，解出b和c的值，由于得到了兩組值，則需要驗證看是否符合已知條件，若不符合需舍掉；第二問，可以利用二次函數(shù)圖象和性質直接證明，也可以利用反證法證明出矛盾，從而得到正確結論；第三問，結合第二問的結論，可以直接得到時的情況，當時需分，，三種情況討論，最后綜合所有情況再得出結論.

試題解析：（1） ∵，由在處有極值，可得

，解得，或 2分

若，，則，此時函數(shù)沒有極值； 3分

若，，則,此時當變化時，，的變化情況如下表：

	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴ 當時，有極大值，故，即為所求。 4分

（2）證法一：

當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外

∴ 在區(qū)間上的最值在兩端點處取得，故應是和中較大的一個

∴ ，即 8分

證法二（反證法）：因為，所以函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外，

∴ 在區(qū)間上的最值在兩端點處取得，故應是和中較大的一個，

假設，則，將上述兩式相加得: 6分

,得，產生矛盾，

∴ 8分

（3）

（�。┊�時，由（2）可知； 9分

（ⅱ）當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之內，

此時，由，有

①若，則，則，

于是

11分

②若，則，則

于是 13分

綜上可知，對任意的、都有

而當，時，在區(qū)間上的最大值 ，故對任意的、恒成立的的最大值為。 14分

考點：導數(shù)的運算、利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值.