Question

已知f（x）在（-1，1）上有定義，f(

1

2

)=1，且滿足x，y∈（-1，1）時有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，數(shù)列{x_n}滿足x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+xn2

．
（1）求f（0）的值，并證明f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（2）探索f（x_n+1）與f（x_n）的關(guān)系式，并求f（x_n）的表達式；
（3）是否存在自然數(shù)m，使得對于任意的n∈N*，

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞

m-8

4

恒成立？若存在，求出m的最大值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y⇒f（0）=0，再令x=0⇒f（-y）=-f（y），從而可證f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（2）依題意，可求得f（x_n+1）=2f（x_n），f（x₁）=f（

1

2

）=1，q=2，于是可求得f（x_n）的表達式；
（3）由f（x_n）=2^n-1⇒

1

f(xn)

=(

1

2

)n-1，利用等比數(shù)列的求和公式可求得

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

=2-(

1

2

)n-1，再解不等式2-(

1

2

)n-1＞

m-8

4

，即可求得m的最大值．

解答： 解：（1）令x=y⇒f（0）=0，
令x=0⇒f（0）-f（y）=f（

0-y

1-0×y

）=f（-y），
∴f（-y）=-f（y）．
∴f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．
（2）∵f（x_n+1）=f（

2xn

1+xn2

）=f（

xn-(-xn)

1-xn(-xn)

）=f（x_n）-f（-x_n）=2f（x_n），
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2（常數(shù)），
∴{f（x_n）}為等比數(shù)列．
又f（x₁）=f（

1

2

）=1，q=2，
∴f（x_n）=2^n-1．
（3）假設(shè)存在自然數(shù)m滿足題設(shè)條件，
則

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1＞

m-8

4

對于任意的n∈N^*成立，
∴m＜16-

8

2n

對于任意的n∈N^*成立，
當n=1時，16-

8

2n

的最小值為12，
∴m＜12，即m的最大值為11．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法與等比關(guān)系的確定，突出考查等比數(shù)列的求和與函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于難題．