Question

6．如圖，在斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$的菱形，且∠BAD=$\frac{π}{3}$，若∠AA₁C=$\frac{π}{2}$，且A₁在底面ABCD上射影為△ABD的重心G．
（1）求證：平面ACC₁A₁⊥平面BDD₁B₁；
（2）求直線CC₁與平面A₁BC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC，BD交點(diǎn)為O，則O在AC上，由A₁G⊥平面ABCD得A₁G⊥BD，由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，故而BD⊥平面ACC₁A₁，于是平面ACC₁A₁⊥平面BDD₁B₁；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{A{A}_{1}}$和平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{n}$，由AA₁∥CC₁可得直線CC₁與平面A₁BC所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{A{A}_{1}}$＞|．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=$\frac{π}{3}$，
∴AC⊥BD，△ABD，△BCD是等邊三角形，
∵G是△ABD的重心，∴G在直線AC上．
∵A₁G⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴A₁G⊥BD，
又AC?平面ACC₁A₁，A₁G?平面ACC₁A₁，AC∩A₁G=G，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，又BD?平面BDD₁B₁，
∴平面ACC₁A₁⊥平面BDD₁B₁．
（2）∵△ABC是等邊三角形，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AO=3，OB=$\sqrt{3}$，OG=1，AC=6，
∴AG=2，CG=4，
∵∠AA₁C=$\frac{π}{2}$，∴A₁G=$\sqrt{AG•CG}$=2$\sqrt{2}$．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（3，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），A₁（1，0，2$\sqrt{2}$），C（-3，0，0）．
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-2，0，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-3，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（1，-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{2}$），
設(shè)平面A₁BC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3x-\sqrt{3}y=0}\\{x-\sqrt{3}y+2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=-6，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{A{A}_{1}}$|=2$\sqrt{3}$，∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{A{A}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{A{A}_{1}}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線AA₁與平面A₁BC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AA₁∥CC₁，
∴直線CC₁與平面A₁BC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．