Question

15．設(shè)F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P是雙曲線右支上一點，滿足（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0（O為坐標原點），且3|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0得到△F₁PF₂是直角三角形，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合直角三角形的勾股定理建立方程關(guān)系進行求解即可．

解答 解：設(shè)PF₂的中點為A，則$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{OA}$，
若（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0
∴2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，即$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∵OA是△F₁PF₂的中位線，
∴OA∥PF₁，且PF₁⊥PF₁，
∵3|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
∵|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2a，
即|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=6a，
則∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=8a，
∵在直角△F₁PF₂中，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|²+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|²=|F₁F₂|²，
∴36a²+64a²=4c²，
即100a²=4c²，
則c=5a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=5，
故選：D

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用判斷三角形是直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．