Question

6．如果函數(shù)y=a^2x+2a^x-1（a＞0，a≠1）在區(qū)間[-1，1]上的最大值是14，則實(shí)數(shù)a的值為3或$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 令t=a^x，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)t=a^x，則函數(shù)等價(jià)為y=f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2，
對(duì)稱軸為t=-1，
若a＞1，則0＜$\frac{1}{a}$≤t≤a，
此時(shí)函數(shù)的最大值為f（a）=（a+1）²-2=14，即（a+1）²=16，
即a+1=4或a+1=-4，
即a=3或a=-5（舍），
若0＜a＜1，則0＜a≤t≤$\frac{1}{a}$，
此時(shí)函數(shù)的最大值為f（$\frac{1}{a}$）=（$\frac{1}{a}$+1）²-2=14，即（$\frac{1}{a}$+1）²=16，
即$\frac{1}{a}$+1=4或$\frac{1}{a}$+1=-4，
即$\frac{1}{a}$=3或$\frac{1}{a}$=-5（舍），
解得a=$\frac{1}{3}$，
綜上3或$\frac{1}{3}$；
故答案為：3或$\frac{1}{3}$；

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．