Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|-|ax+2|，．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，若?x₀∈R，使f（x₀）＜4m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論、去掉絕對(duì)值，求得不等式的解集，綜合可得結(jié)論．
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，利用絕對(duì)值三角不等式，求得f（x）的范圍，從而求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|2x-1|-|x+2|
?①當(dāng)x＜-2時(shí)，f（x）=|2x-1|-|x+2|=1-2x+x+2=-x+3，不等式f（x）＞0，即-x+3＞0，解得x＜3．
又x＜-2，∴不等式的解集為{x|x＜-2}；
②?當(dāng)$-2≤x≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=|2x-1|-|x+2|=1-2x-x-2=-3x-1，不等式f（x）＞0，即-3x-1＞0，解得$x＜-\frac{1}{3}$．
又$-2≤x≤\frac{1}{2}$，∴不等式的解集為{x|$-2≤x＜-\frac{1}{3}$}；
③?當(dāng)$x＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=|2x-1|-|x+2|=2x-1-x-2=x-3，不等式f（x）＞0，即x-3＞0，解得x＞3．
又$x＞\frac{1}{2}$，∴不等式的解集為{x|x＞3}．
綜上，不等式f（x）＞0的解集為$（{-∞，-\frac{1}{3}}）∪（3，+∞）$．
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|2x-1|-|2x+2|≤|2x-1-（2x+2）|=3，∴-3≤f（x）≤3．
若?x₀∈R，使f（x₀）＜4m成立，則4m≥-3，∴$m≥-\frac{3}{4}$，
因此m的取值范圍是$[{-\frac{3}{4}，+∞}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的能成立問題，絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．