Question

10．北京是我國嚴(yán)重缺水的城市之一．為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水，從我做起”，小明在他所在學(xué)校的2000名同學(xué)中，隨機(jī)調(diào)查了40名同學(xué)家庭中一年的月均用水量（單位：噸），并將月均用水量分為6組：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），[12，14]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）給出圖中實數(shù)a的值；
（Ⅱ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計小明所在學(xué)校2000名同學(xué)家庭中，月均用水量低于8噸的約有多少戶；
（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10噸的樣本數(shù)據(jù)中，小明決定隨機(jī)抽取2名同學(xué)家庭進(jìn)行訪談，求這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于[10，12）組的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由各組的頻率之和為1，求出月均用水量在區(qū)間[10，12）的頻率，由此能求出圖中實數(shù)a的值．
（Ⅱ）求出樣本數(shù)據(jù)中月均用水量低于8噸的頻率為0.65，由此能求出小明所在學(xué)校2000名同學(xué)家庭中，月均用水量低于8噸的約有多少戶．
（Ⅲ）設(shè)“這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于[10，12）組”為事件A，由圖可知，樣本數(shù)據(jù)中月均用水量在[10，12）的戶數(shù)為4，記這四名同學(xué)家庭分別為a，b，c，d，月均用水量在[12，14]的戶數(shù)為2．記這兩名同學(xué)家庭分別為e，f，利用列舉法能求出這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于[10，12）組的概率．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）因為各組的頻率之和為1，
所以月均用水量在區(qū)間[10，12）的頻率為1-（0.025×2+0.075+0.100+0.225）×2=0.1，
所以，圖中實數(shù)a=0.1÷2=0.050．…（3分）
（Ⅱ）由圖可知，樣本數(shù)據(jù)中月均用水量低于8噸的頻率為（0.025+0.075+0.225）×2=0.65，…（5分）
所以小明所在學(xué)校2000名同學(xué)家庭中，月均用水量低于8噸的約有0.65×2000=1300（戶）．…（7分）
（Ⅲ）設(shè)“這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于[10，12）組”為事件A，
由圖可知，樣本數(shù)據(jù)中月均用水量在[10，12）的戶數(shù)為0.050×2×40=4．
記這四名同學(xué)家庭分別為a，b，c，d，
月均用水量在[12，14]的戶數(shù)為0.025×2×40=2．記這兩名同學(xué)家庭分別為e，f，
則選取的同學(xué)家庭的所有可能結(jié)果為：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），
（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15種，…（9分）
事件A的可能結(jié)果為：
（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），共8種，…（11分）
所以這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于[10，12）組的概率$P（A）=\frac{8}{15}$．…（13分）

點評 本題考查概率的求法，考查頻率分布直方圖、古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．