Question

18．如圖，在△ABC中，∠B=$\frac{π}{2}$，AB=BC=2，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，PD∥BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（Ⅰ）若PA=$\frac{1}{2}$，求棱錐A′-PBCD的體積；
（Ⅱ）若點(diǎn)定P為AB的中點(diǎn)，求證：平面A′DC⊥平面A′BC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明A′P⊥平面PBCD，即可求出求棱錐A′-PBCD的體積；
（Ⅱ）取A′C，A′B的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接DE，PF，F(xiàn)E，則有EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，PD∥BC，PD=$\frac{1}{2}$BC，通過(guò)PDEF是平行四邊形，證明A′B⊥DE，又DE⊥BC，即可得證．

解答 （Ⅰ）解：若PA=$\frac{1}{2}$，則A′P=PD=$\frac{1}{2}$．BP=$\frac{3}{2}$，
因?yàn)锳′P⊥PD，且平面A′PD⊥平面PBCD，
故A′P⊥平面PBCD，
因?yàn)镾_PBCD=$\frac{15}{8}$
所以V_A′-PBCD=$\frac{1}{3}•\frac{15}{8}•\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$；
（Ⅱ）取A′C，A′B的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接DE，PF，F(xiàn)E，則有EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，PD∥BC，PD=$\frac{1}{2}$BC，
所以DEFP為平行四邊形，
所以DE∥PF，
又A′P=PB，所以PF⊥A′B．
故DE⊥A′B，
由（Ⅰ）知A′P⊥平面PBCD，∴A′P⊥BC，
因?yàn)椤螧=$\frac{π}{2}$，所以BP⊥BC，
∴BC⊥平面A′PB，∵BC⊥PF，
∵DE∥PF，
∴DE⊥BC，
由于A′B∩BC=B，可得DE⊥平面A′BC，
∴平面A′DC⊥平面A′BC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何體的體積計(jì)算，函數(shù)最大值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．