Question

8．橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A為長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，B為短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且AB⊥BF，則橢圓M的離心率e為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得AB²+BF²=AF²，從而a²+b²+a²=（a+c）²，由此能求出橢圓M的離心率e．

解答 解：如圖，∵橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
A為長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，B為短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，
F為右焦點(diǎn)，且AB⊥BF，
∴AB²+BF²=AF²，
∴a²+b²+a²=（a+c）²，
把b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$代入整理，得：
e²+e-1=0，
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或e=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍），
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．