Question

2．已知雙曲線C₁與橢圓C₂：$\frac{y^2}{36}+\frac{x^2}{27}$=0有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{15}$，4）．
（1）求此雙曲線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求與C₁共漸近線且兩頂點(diǎn)間的距離為4的雙曲線方程．

Answer 1

分析 （1）雙曲線C₁與橢圓C₂：$\frac{y^2}{36}+\frac{x^2}{27}$=1有相同焦點(diǎn)，可以設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（含參數(shù)a），然后根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{15}$，4），得到一個(gè)關(guān)于a的方程，解方程，即可得到a²的值，進(jìn)而得到雙曲線的方程．
（2）設(shè)與C₁共漸近線的雙曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=λ\\;\\;（λ≠0）$，當(dāng)λ＞0時(shí)，a²=4λ=4⇒λ=1．當(dāng)λ＜0時(shí)，a²=-5λ=4⇒λ=-$\frac{4}{5}$．

解答 解：（1）C₂：$\frac{y^2}{36}+\frac{x^2}{27}$=1的焦點(diǎn)為（0，±3），c=3，設(shè)雙曲線C₁的方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{9-{a}^{2}}=1$，
把點(diǎn)（$\sqrt{15}$，4）代入得$\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{15}{9-{a}^{2}}=1$．
得a²=4或36，而a²＜9，∴a²=4，∴雙曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=1$．
（2）設(shè)與C₁共漸近線的雙曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=λ\\;\\;（λ≠0）$，
兩頂點(diǎn)間的距離為4，⇒a=2
當(dāng)λ＞0時(shí)，a²=4λ=4⇒λ=1⇒雙曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=1$．
當(dāng)λ＜0時(shí)，a²=-5λ=4⇒λ=-$\frac{4}{5}$⇒雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{\frac{16}{5}}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的方程及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．