Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{t+sinx}{t+cosx}（{|t|＞1}）$的最大值和最小值分別是M，m，則M•m為1．

Answer 1

分析 首先，根據(jù)所給函數(shù)結(jié)構(gòu)形式，得到動(dòng)點(diǎn)A（cosθ，sinθ）與點(diǎn)B（-t，-t）的連線的斜率k，然后，借助于直線與圓的位置關(guān)系，確定M和m的值即可．

解答 解：由函數(shù)f（x）=$\frac{t+sinx}{t+cosx}（{|t|＞1}）$，
得：動(dòng)點(diǎn)A（cosθ，sinθ）與點(diǎn)B（-t，-t）的連線的斜率k，
點(diǎn)A在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B則在直線y=x上，|x|＞1，且在單位圓外，
當(dāng)直線AB與單位圓相切時(shí)，此時(shí)k取得最大值和最小值，
設(shè)AB：y+t=k（x+t），
即kx-y+（k-1）t=0，
它到原點(diǎn)的距離為1，
∴$\frac{|k-1||t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，
∴[（k-1）t]²=1+k²，
∴（t²-1）k²-2t²k+t²-1=0，
∴k=$\frac{{t}^{2}±\sqrt{2{t}^{2}-1}}{{t}^{2}-1}$，
∴M=$\frac{{t}^{2}+\sqrt{2{t}^{2}-1}}{{t}^{2}-1}$，
m=$\frac{{t}^{2}-\sqrt{2{t}^{2}-1}}{{t}^{2}-1}$，
∴M•m=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、斜率公式及其運(yùn)用、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．