Question

4．如圖，已知矩形ABCD，BC⊥平面ABE，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)．
（1）求證：直線AE∥平面BDF；
（2）若AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，求證：AE⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC∩BD=G，連結(jié)FG，易知G是AC的中點(diǎn)，可證FG∥AE，從而可證AE∥平面BDF．
（2）由已知可得AE²+BE²=AB²，由勾股定理可得AE⊥BE，又BC⊥平面ABE，可得：BC⊥AE，BE∩∩BE=B，即可證明AE⊥平面BCE．

解答 證明：（1）設(shè)AC∩BD=G，連結(jié)FG，易知G是AC的中點(diǎn)，
因?yàn)?nbsp;F是EC中點(diǎn)，所以 在△ACE中，F(xiàn)G∥AE．…（2分）
因?yàn)?nbsp;AE?平面BDF，F(xiàn)G?平面BDF，
所以 AE∥平面BDF． …（6分）
（2）因?yàn)锳E=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
所以AE²+BE²=AB²，可得：AE⊥BE，
又因?yàn)锽C⊥平面ABE，可得：BC⊥AE，又BE∩BE=B，
∴AE⊥平面BCE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，連接GF，證明FG∥AE是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．