Question

5．已知a＞b＞c，a+b+c=0，方程ax²+bx+c=0的兩個實(shí)根為x₁，x₂．
（1）證明：-$\frac{1}{2}$＜$\frac{a}$＜1；
（2）求|x${\;}_{1}^{2}$-x${\;}_{2}^{2}$|

Answer 1

分析 （1）由題意可得a＞0、c＜0，a＞b，且a+2b＞0，化簡可得要證的結(jié)論成立．
（2）由題意可得x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，化簡|x${\;}_{1}^{2}$-x${\;}_{2}^{2}$|=$\sqrt{{（{{x}_{1}+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$•|x₁+x₂|=$\sqrt{{（-\frac{a}）}^{2}-4•\frac{c}{a}}$•|-$\frac{a}$|，可得結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵a＞b＞c，a+b+c=0，∴a＞0、c＜0，∴a＞b，且a+2b＞0，
即$\frac{a}$＜1，且$\frac{a}$＞-$\frac{1}{2}$，故有-$\frac{1}{2}$＜$\frac{a}$＜1 成立．
（2）由于方程ax²+bx+c=0的兩個實(shí)根為x₁，x₂ 滿足x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
故|x${\;}_{1}^{2}$-x${\;}_{2}^{2}$|=|x₁-x₂|•|x₁+x₂|=$\sqrt{{（{{x}_{1}+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$•|x₁+x₂|=$\sqrt{{（-\frac{a}）}^{2}-4•\frac{c}{a}}$•|-$\frac{a}$|
=|$\frac{a}$|•$\sqrt{\frac{^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$=$\frac{|b|}{{a}^{2}}$•$\sqrt{^{2}-4ac}$．

點(diǎn)評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．