Question

15．四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2$\sqrt{3}$，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求三棱錐P-BDC的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD，利用等腰三角形的性質(zhì)可得：BD⊥AC，利用線面垂直的性質(zhì)可得：PA⊥BD，即可證明BD⊥平面PAC；
（2）由PA⊥底面ABCD，利用三棱錐P-BDC的體積V=$\frac{1}{3}PA•{S}_{△BCD}$，即可得出．

解答 （1）證明：連接AC，BD，
∵BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$，
∴BD⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC；
（2）解：∵S_△BCD=$\frac{1}{2}•BC•BDsin12{0}^{°}$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
又PA⊥底面ABCD，
∴三棱錐P-BDC的體積V=$\frac{1}{3}PA•{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=2．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．