Question

3．已知圓⊙C：x²+y²+2x-4y+1=0
（1）若圓⊙C的切線在x軸，軸上截距相等，求此切線方程；
（2）從圓⊙C外一點P（x₀，y₀）向圓引切線PM，M為切點，O為原點，若|PM|=|PO|，求使$\sqrt{{{（{{x_0}-2}）}^2}+{y_0}^2}$取最小值時P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）先設圓的切線方程，根據(jù)相切和截距相等解即可；
（2）先求出點P滿足的關系，再根據(jù)$\sqrt{{{（{{x_0}-2}）}^2}+{y_0}^2}$的幾何意義求解即可．

解答 解：⊙C：x²+y²+2x-4y+1=0．
圓心C（-1，2），半徑r=2．
（1）若切線過原點設為y=kx（k≠0），
則$\frac{|-k-2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$，∴$k=0（舍）或k=\frac{4}{3}$．
若切線不過原點，設為x+y=a，
則$\frac{|-1+2-a|}{{\sqrt{2}}}=2$，∴$a=1±2\sqrt{2}$，
∴切線方程為：$y=\frac{4}{3}x$，$x+y-1+2\sqrt{2}=0和x+y-1-2\sqrt{2}=0$…（6分）
（2）由|PM|=|PO|得$\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2+2{x_0}-4{y_0}+1}=\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2}$，
∴2x₀-4y₀+1=0，由$\sqrt{{{（{{x_0}-2}）}^2}+{y_0}^2}$幾何意義知最小值為$\frac{{|{2*2-4*0+1}|}}{{\sqrt{{2^2}+{4^2}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
此時設l：y-0=-2（x-2）即y=-2x+4，將其與2x-4y+1=0聯(lián)立求出此時$P（{\frac{3}{2}，1}）$…（12分）

點評 本題主要考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．