Question

20．已知拋物線y=-x²+4x-3及其上兩點(diǎn)A（0，-3），B（3，0），
（1）分別求拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線方程；
（2）求由拋物線及其在A，B兩點(diǎn)處的切線共同圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線的斜率，即可求拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線方程；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=4x-3\\ y=-2x+6\end{array}\right.$得$x=\frac{3}{2}$，利用定積分求由拋物線及其在A，B兩點(diǎn)處的切線共同圍成的圖形的面積．

解答 解：（1）因?yàn)閥'=-2x+4，
所以拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為4和-2，
其切線方程分別為：y=4x-3和y=-2x+6
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=4x-3\\ y=-2x+6\end{array}\right.$得$x=\frac{3}{2}$
故$S=\int_0^{\frac{3}{2}}{（{4x-3+{x^2}-4x+3}）}dx+\int_{\frac{3}{2}}^3{（{-2x+6+{x^2}-4x+3}）}dx$
=$\frac{1}{3}{x^3}\left|\begin{array}{l}\frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right.+$$（{\frac{1}{3}{x^3}-3{x^2}+9x}）\left|\begin{array}{l}3\\ \frac{3}{2}\end{array}\right.$=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查定積分知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．