Question

9．數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N⁺）
（1）求證{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列（要指出首項與公差）；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N⁺）變形即得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，從而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知：$\frac{1}{{a}_{n}}$的表達式，取倒數(shù)后即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$（n∈N⁺），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
又∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知：$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

點評 本題考查求數(shù)列的通項，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．