Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+t，x＜0}\\{x+lnx，x＞0}\end{array}\right.$，其中t是實(shí)數(shù)．設(shè)A，B為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若x₂＜0，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，求x₁-x₂的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+4，x＜0}\\{1+\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）由已知f′（x₁）f′（x₂）=-1，可得（2x₁+4）（2x₂+4）=-1，由此即可求x₁-x₂的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+4，x＜0}\\{1+\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，
-2＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，x＜-2時(shí)，f′（x）＜0，x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-2，0），（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1]；
x=-2時(shí)，f（x）有極小值f（-2）=t-4，無極大值；
（Ⅱ）當(dāng)x₂＜0時(shí)，x₁＜0．
由已知f′（x₁）f′（x₂）=-1，∴（2x₁+4）（2x₂+4）=-1，
故x₁=$\frac{1}{4{x}_{2}+8}$-2
∴x₂-x₁=$\frac{1}{4（{x}_{2}+2）}$+（2+x₂），
∵2x₁+4＜2x₂+4，∴2x₁+4＜0＜2x₂+4，
∴x₂-x₁=$\frac{1}{4（{x}_{2}+2）}$+（2+x₂）≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，等號成立，
故x₁-x₂的最大值為-1．

點(diǎn)評 本題以函數(shù)為載體，考查分段函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，注意利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．